Actualizado por ultima vez el 5 de abril de 2022, por Luis Benites.
¿Qué es la distribución de Weibull?
La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua que lleva el nombre del matemático sueco Waloddi Weibull. Originalmente propuso la distribución como un modelo para la resistencia a la rotura del material, pero reconoció el potencial de la distribución en su artículo de 1951 Una función de distribución estadística de amplia aplicabilidad . Hoy en día, se usa comúnmente para evaluar la confiabilidad del producto , analizar datos de vida útil y modelar tiempos de falla. El Weibull también puede adaptarse a una amplia gama de datos de muchos otros campos, incluidos: biología, economía, ciencias de la ingeniería e hidrología (Rinne, 2008).
Aunque es extremadamente útil en la mayoría de los casos, el Weibull no es un modelo apropiado para cada situación. Por ejemplo, las reacciones químicas y las fallas por corrosión generalmente se modelan con la distribución lognormal .
PDF de distribución de Weibull
Dos versiones de la función de densidad de probabilidad de Weibull (pdf) son de uso común: la pdf de dos parámetros y la pdf de tres parámetros . Los diferentes autores usan una notación diferente, lo que hace que la notación sea un poco confusa si estás viendo textos diferentes. Por ejemplo, The Engineering Statistics Handbook usa gamma(γ) para representar el parámetro de forma , mientras que otros autores (p. ej., Fritz Scholz, que escribe para Boeing) usan beta (β). He incluido las diferentes notaciones que he encontrado en la información en pdf a continuación. Si encuentra más, no dude en hacérmelo saber dejando un comentario en nuestra página de Facebook .
Para mayor claridad, me quedo con la misma notación para todas las fórmulas: γ para el parámetro de forma, x como variable y μ para el parámetro de ubicación.
Weibull de tres parámetros
La fórmula para la función de densidad de probabilidad de la distribución general de Weibull de tres parámetros es: Donde:
- γ es el parámetro de forma (también conocido como pendiente de Weibull o parámetro de umbral ). Nota : algunos autores usan β, m o k .
- α es el parámetro de escala , también llamado parámetro de vida característico . Nota : algunos autores usan c, ν o η en su lugar. Encontré un solo texto (Glantz & Kissell, 2013) usando γ.
- μ es el parámetro de ubicación , también llamado parámetro de tiempo de espera o, a veces , parámetro de cambio . Nota : μ el tiempo hasta el fallo no está incluido en la versión de dos parámetros.
Cuando μ = 0 y α = 1, la fórmula para el pdf se reduce a: cuál es la distribución estándar de Weibull .
Weibull de dos parámetros
La fórmula es prácticamente idéntica al Weibull de tres parámetros, excepto que μ no está incluido: el Weibull de dos parámetros se usa a menudo en el análisis de fallas, porque ninguna falla puede ocurrir antes del tiempo cero. Si conoce μ, el momento en que ocurre la falla, puede restarlo de x (es decir, el tiempo t ). Por lo tanto, cuando pasa de la versión de dos parámetros a la de tres parámetros, todo lo que tiene que hacer es reemplazar cada instancia de x con (x – μ).
Tasas de gamma y fallas
El valor del parámetro de forma (γ) determina las tasas de falla:
- Si gamma es menor que 1, entonces la tasa de fallas disminuye con el tiempo (es decir, el proceso tiene una gran cantidad de fallas infantiles o tempranas y menos fallas a medida que pasa el tiempo).
- Para γ = 1: la tasa de fallas es constante , lo que significa que es indicativo de vida útil o fallas aleatorias.
- Si γ > 1: la tasa de fallas aumenta con el tiempo (es decir, los modelos de distribución fallan por desgaste, que tienden a ocurrir después de que ha pasado un tiempo).
EVE tipo III
Bajo algunos parámetros específicos, Wiebull es un ejemplo de una distribución de valores extremos (EVD) y, a veces, se denomina EVD Tipo III . Los valores extremos son puntos de datos que son muy altos o muy bajos en relación con los otros puntos del conjunto; Estos valores se encuentran en las colas de una distribución. Las EVD son las distribuciones límite para estos valores. Los otros dos EVD son la distribución Gumbel (EVD Tipo I) y la distribución Fréchet (EVD Tipo II).
La familia Weibull
La distribución de Weibull es una familia de distribuciones que puede adoptar muchas formas, según los parámetros que elija. Las distribuciones de Weibull anteriores incluyen dos distribuciones exponenciales (fila superior), una distribución sesgada a la derecha (abajo a la izquierda) y una distribución simétrica (abajo a la derecha). La distribución exponencial es un caso especial de la distribución de Weibull, que ocurre cuando el parámetro de forma de Weibull es igual a 1.
Cambiar los parámetros de Weibull también cambia la forma de la distribución.
Cambiar α, el parámetro de escala , no cambia el tipo de forma, pero estira la forma existente. Si los otros dos parámetros se mantienen iguales:
- El aumento de α hace que el gráfico se estire hacia la derecha. La altura disminuirá.
- La disminución de α da como resultado que el gráfico se encoja hacia la izquierda (hacia cero). La altura aumentará.
Análisis Weibull
El análisis de Weibull implica el uso de la distribución de Weibull (y, a veces, la lognormal ) para estudiar el análisis de datos de vida: el análisis del tiempo hasta la falla. Por ejemplo, el análisis de Weibull se puede utilizar para estudiar:
- Vida útil de los implantes médicos y dentales,
- Componentes producidos en una fábrica (como cojinetes, capacitores o dialétricos),
- análisis de garantía,
- Servicios de utilidad,
- Otras áreas donde el tiempo hasta la falla es importante.
El análisis no se limita a la producción; es aplicable a la etapa de diseño y al tiempo de servicio también.
En el pasado, las técnicas para realizar el análisis de Weibull a mano eran tediosas y largas. El proceso ahora ha sido reemplazado por programas de software estadístico y hoy en día es la técnica más utilizada para analizar datos de vidas en el mundo.
Las principales ventajas de usar el análisis de Weibull es que se puede usar para analizar tiempos de vida con muestras muy pequeñas. También produce una trama fácil de entender. El eje horizontal en un diagrama de Weibull muestra la vida útil o los parámetros de envejecimiento, como el kilometraje, los tiempos de funcionamiento o los ciclos de uso. El eje vertical muestra el porcentaje de fallas acumuladas (total aditivo).
El análisis incluye:
- Pronosticar cuándo se necesitarán repuestos.
- Implementación de un plan de acciones correctivas.
- Planificación de mantenimiento y estrategias de reemplazo rentables.
- Trazado e interpretación de datos.
- Predicción de fracasos.
Referencias
Manual de estadísticas de ingeniería (nd). Recuperado el 25 de octubre de 2017 de: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr162.htm
ETH Zurich Department of Mathematics. (Dakota del Norte). El paquete R Stats .
Johnson, NL, Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions , volumen 1, capítulo 21. Wiley, Nueva York.
Glantz y Kissell (2013). Modelado de riesgo de activos múltiples: técnicas para una economía global en una era de comercio electrónico y algorítmico . Prensa Académica.
Rinne, H., (2008). La distribución de Weibull: un manual. Prensa CRC.
Scholz, F. (1999). Análisis de confiabilidad de Weibull. Boeing Phantom Works. Recuperado el 25 de octubre de 2017 de: https://www.researchgate.net/file.PostFileLoader.html?id=54d7377bd2fd643a488b459f&assetKey=AS%3A273694931259401%401442265364239
Weibull, W., (1951). Una función de distribución estadística de amplia aplicabilidad, Journal of Applied Mechanics.
