Ley de la probabilidad total: definición y ejemplos

En la teoría de la probabilidad, la ley de la probabilidad total es una forma útil de encontrar la probabilidad de algún evento A cuando no conocemos directamente la probabilidad de A pero sabemos que los eventos B 1 , B 2 , B 3 … forman una partición del espacio de muestra S .

Esta ley establece lo siguiente:

La ley de la probabilidad total

Si B 1 , B 2 , B 3 … forman una partición del espacio muestral S , entonces podemos calcular la probabilidad del evento A como:

P ( A ) = ΣP ( A | B i ) * P ( B i )

La forma más sencilla de entender esta ley es con un ejemplo sencillo.

Supongamos que hay dos bolsas en una caja, que contienen las siguientes canicas:

  • Bolsa 1: 7 canicas rojas y 3 canicas verdes
  • Bolsa 2: 2 canicas rojas y 8 canicas verdes

Si seleccionamos al azar una de las bolsas y luego seleccionamos al azar una canica de esa bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que sea una canica verde?

En este ejemplo, sea P ( G ) = probabilidad de elegir una canica verde. Esta es la probabilidad que nos interesa, pero no podemos calcularla directamente.

En lugar de ello tenemos que utilizar la probabilidad condicional de G , dado algunos eventos B donde el B i forma ‘s una partición del espacio de muestra S . En este ejemplo, tenemos las siguientes probabilidades condicionales:

  • P (G | B 1 ) = 3/10 = 0,3
  • P (G | B 2 ) = 8/10 = 0,8

Por lo tanto, utilizando la ley de la probabilidad total, podemos calcular la probabilidad de elegir una canica verde como:

  • P (G) = ΣP (G | B i ) * P (B i )
  • P (G) = P (G | B 1 ) * P (B 1 ) + P (G | B 2 ) * P (B 2 )
  • P (G) = (0,3) * (0,5) + (0,8) * (0,5)
  • P (G) = 0,55

Si seleccionamos al azar una de las bolsas y luego seleccionamos al azar una canica de esa bolsa, la probabilidad de que elijamos una canica verde es 0.55 .

Lea los siguientes dos ejemplos para solidificar su comprensión de la ley de la probabilidad total.

Ejemplo 1: widgets

La empresa A suministra el 80% de los widgets para una tienda de automóviles y solo el 1% de sus widgets resultan defectuosos. La empresa B suministra el 20% restante de los widgets para la tienda de automóviles y el 3% de sus widgets resultan defectuosos.

Ejemplo de ley de probabilidad total

Si un cliente compra al azar un widget en la tienda de automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?

Si dejamos P ( D ) = la probabilidad de que un widget sea defectuoso y P (B i ) sea la probabilidad de que el widget provenga de una de las empresas, entonces podemos calcular la probabilidad de comprar un widget defectuoso como:

  • P (D) = ΣP (D | B i ) * P (B i )
  • P (D) = P (D | B 1 ) * P (B 1 ) + P (D | B 2 ) * P (B 2 )
  • P (D) = (0.01) * (0.80) + (0.03) * (0.20)
  • P (D) = 0,014

Si compramos al azar un widget en esta tienda de autos, la probabilidad de que sea defectuoso es de 0.014 .

Ejemplo 2: Bosques

El bosque A ocupa el 50% de la tierra total en un cierto parque y el 20% de las plantas de este bosque son venenosas. El bosque B ocupa el 30% de la tierra total y el 40% de las plantas que contiene son venenosas. El bosque C ocupa el 20% restante de la tierra y el 70% de las plantas que contiene son venenosas.

Si entramos al azar en este parque y recogemos una planta del suelo, ¿cuál es la probabilidad de que sea venenosa?

Si dejamos P ( P ) = la probabilidad de que la planta sea venenosa, y P (B i ) sea ​​la probabilidad de que hayamos entrado en uno de los tres bosques, entonces podemos calcular la probabilidad de que una planta elegida al azar sea venenosa como :

  • P (P) = ΣP (P | B i ) * P (B i )
  • P (P) = P (P | B 1 ) * P (B 1 ) + P (P | B 2 ) * P (B 2 ) + P (P | B 3 ) * P (B 3 )
  • P (P) = (0,20) * (0,50) + (0,40) * (0,30) + (0,70) * (0,20)
  • P (P) = 0,36

Si elegimos al azar una planta del suelo, la probabilidad de que sea venenosa es de 0,36 .

Recursos adicionales

Cómo encontrar la media de una distribución de probabilidad
Cómo encontrar la desviación estándar de una distribución de probabilidad Calculadora de distribución de
probabilidad

  • https://r-project.org
  • https://www.python.org/
  • https://www.stata.com/

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